miércoles, 19 de octubre de 2011

La Hipérbola

Definición 

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.





Componentes de la hipérbola

Focos Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario Es la mediatriz del segmento .

Centro Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

Distancia focal Es el segmento de longitud 2c.

Eje mayor Es el segmento de longitud 2a.

Eje menor Es el segmento de longitud 2b.

Ejes de simetría Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asíntotas Son las rectas de ecuaciones:

Relación entre los semiejes



Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

















Ecuación de la Hipérbola




Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(−c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:



Esta expresión da lugar a:



Realizando las operaciones llegamos a:



Ejemplos

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).








Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.







Ecuación reducida de eje vertical de la hipérbola



F'(0, −c) y F(0, c)

La ecuación será:


Ejemplo

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).







Ecuación de la hipérbola




Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:




Ejemplos

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).









Ecuación de la hipérbola de eje vertical



Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:




Ejemplo

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:



Donde A y B tienen signos opuestos.


Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).









Ejercicios:
Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

1























2
























Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.










El eje focal de una hipérbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar su ecuación.








Calcular la ecuación reducida de la hipérbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vértice más próximo es 2.







Determina la ecuación reducida de una hipérbola que pasa por el punto y su excentricidad es .












La tangente a la hipérbola y los espejos hiperbólicos

En la hipérbola de abajo se ha trazado una recta tangente en el punto P. La tangente a la hipérbola en cualquier punto tiene la siguiente propiedad:
La recta tangente en un punto P es bisectriz del ángulo que forman los radio vectores de ese punto.


Esta propiedad se utiliza en los espejos hiperbólicos. Los rayos emitidos desde un foco de un hipérbola se reflejan enla rama más alejada de dicho foco y salen de la hipérbola como si fuesen emitidos por el otro foco.

30 comentarios:

  1. Nombre Katherine Cruz..
    El blog me parece muy completo ya que consta con varios elementos informativos y prácticos acerca de la hipérbola que nos permiten comprender de mejor manera dicho tema..

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  2. Me gustó mucho éste blog, ya que tiene información completa sobre la hipérbóla, es decir sobre su definición, elementos, ejercicios, etc. En especial me llamó la atención el último tema, que habla sobre la tangente a la hipérbola y los espejos hiperbólicos.

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  3. Me gusto mucho que habian ejercicios con una explicacion muy buena y graficos que permitian un mejor entendimiento. Igualmente los videos nos ayudan a tener mas informacion con respecto al tema, y a la resolucion de ejercicios de la hiperbole.

    MARIUXI CERVANTES

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  4. este blogger esta muy interesante ya que el tema costa esencialmente de problemas para entender el procedimiento de los cálculos del problema de la hipérbola. e igual forma me interesó el tema de La tangente a la hipérbola y los espejos hiperbólicos..
    PABLO SILVA

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  5. creo que el trabajo esta hecho de muy buena forma ya que nos explica detalladamente todo lo que necesitamos para la resolución de ejercicios de la hipérbola, ya que consta tanto con formulas de aplicación como ejemplos.
    Diego Flores

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  6. Este blogger esta muy completo ya q cuenta con elementos de hipèrbola ejercicios y formulas .

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  7. Este blogger posee una informaciòn creativa para reconocer todos los elementos que contiene la hiperbola y la resolucion de los ejercicios propuestos.
    Nos permite tener una mejor visualizacion de sus gràficas.

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  8. Opino que este blog ofrece una gran recopilación de la informacion acerca de la hiperbola de una manera didactica lo que hace mas facil su comprensión y debido a que ayuda tambien en gran forma la manera didactica en la que es presentada este blog...........

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  9. Paul Cueva
    Me parece que este blog esta muy bueno. La informacion que se proporciona es sumamente necesaria para la comprension de las conicas. Gracias a los ejercicios y a los videos, he logrado entener un poco mejor con lo referido a esta conica.

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  10. para saber si es una hiperbola nos basamos en los signos de la ecuación general de la hiperbola en sus signos tiene que ser contrarios ejemplo la Xcuadrado sigo positivo y la y cuadrado negativo es lo explica en el video. muy buena las explicaciones que nos podria servir para aplicar en la materia

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  11. Este blog me parece muy util y nos ayuda a aclarar las dudas que tenemos referente al tema que es la hiperbola ya que tiene una gran variedad de videos que nos ayuda y es de mas facil el aprendizaje

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  12. Este blog les va a reforzar todos los conocimientos obtenidos en clase, por lo cual tiene una amplia informacion acerca de la hiperbola........

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  13. La informaciòn es muy buena... ademàs nos ayuda a reconocer mejor los elementos de la hiperbola, y si los identificamos correctamente podremos deducir fàcilmente la ecuaciòn...

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  14. me parece que la informacion de los graficos debe ir enforma seguida pero ahi mismo para aprender a diferenciar y comprender los elementos del mismo para su correcto uso y comprencion asi como la correcta asimilacion y aplicacio practica de los mismos.

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  15. Nos presenta una información muy completa acerca de este tema, ya que nos indica de una manera muy clara las distintas fórmulas de la hiperbola, además los videos me parecen mus útiles porque permiten entender mejor la resolución de este tipo de ejercicios.

    Att: Cristina Lucero.

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  16. Samantha Pozo la informacion definida de cada uno de los elementos de la hiperbola ayuda a una facil resolucion de los problemas y una facilidad de entendimiento

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  17. Jessica Lema:
    El blog es muy bueno y completo esta todo lo que necesitamos para comprender bien la hiperbola que fue un tema que no se abordo muy a fondo en clase los tutoriales son super claros

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  18. Es un blog muy interesante sobretodo porque nos permite reforzar nuestros conocimientos acerca de la hipérbola que es un tema ya estudiado, los videos y los ejercicios nos permiten comprender mejor el tema de la hipérbola.

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  19. David Cano, este blog es muy interesante e importante porque en el encontramos, varios temas como problemas, explicaciones, e incluso videos los cuales junto con lo aprendido en clase, puedo reforzar mis conocimientos.

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  20. nos mostraron lo facil de comprender la hiperbolo con ayuda de turorias

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  21. es un blog muy completo y sobre todo se entiende lo malo esque usan muchos videos y el color de las letras y numeros no es el mejor deberian cambiar...!!!

    MARCOS NEGRETE

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  22. Lo que si se ve es que el modelo del blogg estan increible ya que como el calculo tiene un toque de seriedad y eso es lo que debemos reflejar en esta materia.
    Ademas el vio de las asintotas me sirvio de mucho, ya que ahora si se de donde y como salen..

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  23. este blog muy importante sobre todo porque recopilamos la informacion faltante, nos atrae mucho para poder aprender un poco más.

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  24. El contenido de el blogger se encuentra muy completo, detallado, con ejercicios fáciles de comprender y esto nos ayuda a fortalezer los contenidos obtenidos en clases.
    francisco león

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  25. El blog nos muestra la información presisa y correcta sobre todo buenos ejercicios y una excellente teoría para entender de mejor manera

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  26. gracias a los videos se puede entender de mejor forma como clcular la ecuacion de la hiperbole y sus elementos es de mucha utilidad

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  27. el uno de los blong que mas didactico es esto significa que es mas facil de entender ademas que los videos que muestra es lo divertido del calculo

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  28. Este blog es de gran ayuda porque nos permite aprender con la información proporcionada por el mismo

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  29. me gusto este blog porque nos presenta información detallada de la hipérbola,complementando con lo aprendido en clase, facilitándonos la resolución de los problemas de esta cónica.

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  30. este blog me ayudo a definir diferencias entre la hiperbola y los otros lugares geometricos

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