La Hipérbola

Definición 

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.

Componentes de la hipérbola

Focos Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario Es la mediatriz del segmento .

Centro Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

Distancia focal Es el segmento de longitud 2c.

Eje mayor Es el segmento de longitud 2a.

Eje menor Es el segmento de longitud 2b.

Ejes de simetría Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asíntotas Son las rectas de ecuaciones:

Relación entre los semiejes



Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

Ecuación de la Hipérbola




Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(−c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:



Esta expresión da lugar a:



Realizando las operaciones llegamos a:



Ejemplos

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).








Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.







Ecuación reducida de eje vertical de la hipérbola

F'(0, −c) y F(0, c)

La ecuación será:

Ejemplo

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).







Ecuación de la hipérbola




Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:




Ejemplos

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).









Ecuación de la hipérbola de eje vertical



Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:




Ejemplo

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:



Donde A y B tienen signos opuestos.


Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).









Ejercicios:

Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

1























2
























Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.










El eje focal de una hipérbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar su ecuación.








Calcular la ecuación reducida de la hipérbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vértice más próximo es 2.







Determina la ecuación reducida de una hipérbola que pasa por el punto y su excentricidad es .












La tangente a la hipérbola y los espejos hiperbólicos

En la hipérbola de abajo se ha trazado una recta tangente en el punto P. La tangente a la hipérbola en cualquier punto tiene la siguiente propiedad:
La recta tangente en un punto P es bisectriz del ángulo que forman los radio vectores de ese punto.


Esta propiedad se utiliza en los espejos hiperbólicos. Los rayos emitidos desde un foco de un hipérbola se reflejan enla rama más alejada de dicho foco y salen de la hipérbola como si fuesen emitidos por el otro foco.